Poeta jest stypendystą m.in. Literaturhaus Zürich (2016), Yaddo (USA, 2015), Omi International Arts Center (USA, 2013), Vermont Studio Center (USA, 2011), Literatur Lana (Włochy, 2011), Ministra Kultury RP (2007, 2010), Baltic Centre for Writers and Translators w Visby (Szwecja, 2004, 2010). Dąbrowski uczestniczył w spotkaniach autorskich i festiwalach literackich m.in. w Stanach Zjednoczonych, Wielkiej Brytanii, Izraelu, Indiach, Niemczech, Austrii, Szwecji, Danii, Gruzji, we Włoszech, na Ukrainie, Litwie, Łotwie oraz Cyprze. Tłumaczony m.in. na angielski, niemiecki, francuski, włoski, hiszpański, hebrajski, szwedzki, duński, norweski, rosyjski, ukraiński, węgierski, gruziński, słoweński, serbski, chorwacki, estoński, litewski, łotewski i czeski. Między innymi jest laureatem Horst-Bienek-Preis für Lyrik (2014), Nagrody Literackiej m. st. Warszawy (2014), Sztormu Roku (2010), nagrody Splendor Gedanensis (2007), Nagrody Artystycznej Gdańskiego Towarzystwa Przyjaciół Sztuki. Od Tadeusza Różewicza otrzymał „Małe Berło” Fundacji Kultury Polskiej (2006). W 2009 roku otrzymał Nagrodę Kościelskich za zbiór wierszy Czarny kwadrat. Został wyróżniony za „oryginalność poetycką, wyrażającą się odwagą w traktowaniu trudnych zagadnień artystycznych i światopoglądowych”. Książka ta była również nominowana do Nagrody Literackiej Nike (2010). Za tom Pomiędzy był w 2014 nominowany do Nagrody Poetyckiej im. K.I. Gałczyńskiego „Orfeusz”. Jego niemiecki wybór Die Bäume spielen Wald znalazł się na prestiżowej liście Lyrik-Empfehlungen 2015 (najlepszych książek poetyckich roku). Autor m.in. tomów: „Czarny kwadrat”, „Pomiędzy”, „Bezbronna kreska”. „Środek wyrazu”.